Μαθήματα:

Η παραγοντοποίηση μας βοηθάει σημαντικά στην επίλυση εξισώσεων.
Αν έχουμε να λύσουμε την εξίσωση \(\rm F(x)=0\) και μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε: \(\rm F(x)=A(x)B(x)\) τότε, ισοδύναμα, έχουμε:
\(\rm A(x)B(x)=0\Leftrightarrow\)  \(\rm A(x)=0\) ή \(\rm B(x)=0\) και λύνουμε τις δύο απλούστερες, επί μέρους εξισώσεις ξεχωριστά.

Όταν προσπαθούμε να παραγοντοποιήσουμε ένα άθροισμα συνήθως ελέγχουμε:

• (i) αν υπάρχει κοινός παράγοντας όλων των όρων

\(\rm au+av-ay+ax-a(w-z)=\)   \(\rm a(u+v-y+x-w+z)\)

• (iii) αν μπορούμε να προχωρήσουμε σε παραγοντοποίηση κατά ζεύγη

\(\rm ax-ay-bx+by=\)   \(\rm a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)\)

• (ii) αν μπορεί να επιτευχθεί παραγοντοποίηση με χρήση ταυτοτήτων

Οι ταυτότητες είναι από τα πιο χρήσιμα εργαλεία παραγοντοποίησης που έχουμε.
Αυτές που συναντάμε συχνότερα είναι:
\(\rm (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\)
\(\rm (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\)
\(\rm x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)\)
\(\rm x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\)
\(\rm x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})\)

Ειδικά για τα πολυώνυμα υπενθυμίζουμε ότι στο \(\rm \mathbb{R}\) τα πολυώνυμα που παραγοντοποιούνται είναι τα δευτεροβάθμια με μη-αρνητική διακρίνουσα και όλα όσα είναι βαθμού μεγαλύτερου από 2.

Η παράσταση \(\rm α(x-1)+β(1-x)\) γράφεται: \(\rm α(x-1)-β(x-1)\) και άρα έχει κοινό παράγοντα το \(\rm x-1\) .

• Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: \(\rm f(x)=x^{6}-x^{5}+x^{4}-2x^{3}+x^{2}-x+1\)

Θα παραγοντοποιήσουμε κατά ζεύγη με στόχο να δημιουργηθεί ο κοινός παράγοντας \(\rm x-1\) . Για να φανεί πιο εύκολα αυτό θα "σπάσουμε" το \(\rm 2x^{3}\) σε \(\rm x^{3}+x^{3}\) και θα "ζευγαρώσουμε" το πρώτο με το \(\rm x^{4}\) και το δεύτερο με το \(\rm x^{2}\).
\(\rm f(x)=x^{6}-x^{5}+x^{4}-2x^{3}+x^{2}-x+1=\)  \(\rm x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}-x^{3}+x^{2}-x+1=\)   \(\rm x^{5}(x-1)+x^{3}(x-1)-x^{2}(x-1)-(x-1)=\)   \(\rm (x-1)(x^{5}+x^{3}-x^{2}-1)\)
Όμως δεν έχουμε ακόμα τελειώσει καθώς η δεύτερη παρένθεση μπορεί να παραγοντοποιηθεί κι άλλο και μάλιστα με περισσότερους από έναν τρόπους. Θα συνεχίσουμε πάλι με παραγοντοποίηση κατά ζεύγη:
\(\rm (x-1)(x^{5}+x^{3}-x^{2}-1)=\)   \(\rm (x-1)[x^{3}(x^{2}+1)-(x^{2}+1)]=\)   \(\rm (x-1)(x^{2}+1)(x^{3}-1)\)
Η δεύτερη παρένθση δεν παραγοντοποιείται περαιτέρω καθώς είναι δευτεροβάθμιο πολυώνυμο με αρνητική διακρίνουσα. Η τρίτη παρένθεση όμως μπορεί να παραγοντοποιηθεί με χρήση της γνωστής ταυτότητας: \(\rm x^{3}-1^{3}=(x-1)(x^{2}+x+1)\) .
Τελικά: \(\rm f(x)=(x-1)^{2}(x^{2}+1)(x^{2}+x+1)\)

• Να λυθεί η εξίσωση: \(\rm x^{3}-5x^{2}-4x+20=0\)

\(\rm x^{3}-5x^{2}-4x+20=0\Leftrightarrow\)  \(\rm x^{2}(x-5)-4(x-5)=0\Leftrightarrow\)  \(\rm (x^{2}-4)(x-5)=0\Leftrightarrow\)  \(\rm (x-2)(x+2)(x-5)=0\Leftrightarrow\)  \(\rm x=2   ή   x=-2   ή   x=5\)

Η σύνθεση συναρτήσεων είναι ένα κομμάτι της ύλης που προσπερνούν αρκετοί φοιτητές. Αν και στην πρώτη εργασία δεν φαίνεται να παίζει ρόλο, είναι πολύ σημαντική για τον υπολογισμό παραγώγων και ολοκληρωμάτων πιο σύνθετων μορφών.
Γι'αυτό είναι πολύ σημαντικό οι φοιτητές να μπορούν να συνθέσουν συναρτήσεις, αλλά και να αναγνωρίζουν εύκολα πότε μία συνάρτηση μπορεί να προκύψει ως σύνθεση δύο άλλων.

“  Έστω \(\rm f : Β\rightarrowΓ\)  και  \(\rm g : Α\rightarrowΒ\)  δύο συναρτήσεις. Καλούμε σύνθεση της \(\rm g\) με την \(\rm f\) και συμβολίζουμε \(\rm f\circ g : Α\rightarrowΓ\) τη συνάρτηση με τύπο: \(\rm (f\circ g)(x) = f(g(x))\) ”

• Έστω: \(\rm f(x)=x^{2}-3x+5\)  και  \(\rm g(x)=x-1\) . Να δείξετε ότι  \(\rm (f\circ g)(x)\neq (g\circ f)(x)\)

Είναι: \(\rm (f\circ g)(x) = f(g(x))=\)  \(\rm (x-1)^{2}-3(x-1)+5=\)  \(\rm x^{2}-2x+1-3x+3+5=\)  \(\rm x^{2}-5x+9\)  , ενώ: \(\rm (g\circ f)(x) = g(f(x))=\)  \(\rm (x^{2}-3x+5)-1=\)  \(\rm x^{2}-3x+4\) . Προφανώς:   \(\rm (f\circ g)(x)\neq (g\circ f)(x)\)

• Έστω: \(\rm f(x)=e^{-x}\)  και  \(\rm g(x)=lnx\) .  Να βρεθούν οι:  \(\rm (f\circ g)(x)\)  και  \(\rm (g\circ f)(x)\)

Για τις αντίστροφες συναρτήσεις ισχύει:  \(\rm (f^{-1}\circ f)(x)=x\)  και  \(\rm (f\circ f^{-1})(x)=x\) . Δεδομένου ότι η εκθετική και η λογαριθμική ως προς την ίδια βάση είναι αντίστροφες συναρτήσεις, θα χρησιμοποιήσουμε αυτές τις σχέσεις για να απλοποιήσουμε τις σύνθετες συναρτήσεις στις οποίες θα καταλήξουμε.
Είναι: \(\rm (f\circ g)(x) =\)  \(\rm f(g(x))=\)  \(\rm e^{-g(x)}=\)  \(\rm e^{-lnx}=\)  \(\rm e^{lnx^{-1}}=\)  \(\rm e^{ln\frac{1}{x}}=\frac{1}{x}\)  και  \(\rm (g\circ f)(x) =\)  \(\rm g(f(x))=\)  \(\rm lne^{-x}=\)  \(\rm -x\).